本文灵感来自于 仪表云 视频：10分钟了解PID工作流程，下面附上连接
笔者属于控制入门，文中若有不当之处还请读者指出，欢迎大家讨论！
———————————————正文———————————————
在 PID控制原理 一 （开闭环控制） 一文中已经介绍了开闭环控制，并且介绍了一种最简单的控制器：Bang-Bang Control
笔者已经说过，BangBang Control太傻，因此为使控制变得更智能一点，希望引入一种聪明的控制器。接下来，我们依旧利用PID控制原理 一 （开闭环控制）文中的小车沿着路线行驶的转向控制来讲解：
——————————————前提准备——————————————
图1中小车向东行驶，车速恒定，其目标是最终沿着目标路径走（有目标，闭环控制），路径有方向，黑色箭头为路径延伸方向
图 1
在此，我们设定小车距离目标路径的实际距离为Cross Track Error ( Ep )，由于目标距离=0；所以 Ep也就是误差；
Ep方向：当小车在目标路径右边，则Ep>0；若小车在目标路径左边，则Ep<0
另外，如果小车想走到目标路径，就必须先拐弯，因此我们设定小车每次的转弯角度为Sa， Sa就是控制输出（每个控制周期的输出）；
Sa方向：当Sa>0时，小车向左拐（小车前进方向的左）；当Sa<0时，小车向右拐（小车前进方向的右）
如图 2，可以借此画出小车闭环控制的逻辑图，循环控制周期为‘ t ’：
图 2
————————————-PID控制器设计—————————————-
1.P Control
BangBang Control最大的问题就是每次的控制量Sa恒定，因此当小车接近目标时，很容易控制超调，导致控制震荡
那么是不是可以这样想：
如果Ep比较大的话（小车距离目标路径远），就让控制量Sa大一些；而Ep比较小的话（小车距离目标路径较近），就让控制量Sa小一些；这样当小车接近目标路径时，就可以防止超调了！
就是说Sa是随着Ep变化的；Ep大，Sa就大，Ep小，Sa就小；就是成正比
引入控制周期 t，可以得出这样的公式：
就是比例控制啦！控制逻辑图如下图所示
引入P控制的结果，可以通过调节P的大小来调节Sa(t)：下图显示是不同P值对小车控制所产生的影响：P较小时，小车到达目标路径比较慢；P较大时，小车到达路径比较快；
我们将BangBang Control和P Control进行了比较，可以发现使用P Control达到目标路径后，小车沿着目标路径行驶更稳，基本不会震荡了；但是如下图所示，小车在前期控制时总会超调，震荡的问题并没有完全解决。可以看到小车在向目标路径行进时，可谓是一头扎进了终点线。
P控制最容易前期超调，这是由于第一次控制时，Ep(1)过大，会导致Sa(1)过大，小车会急速向目标路径扎去，而离目标路径越近，Ep(t)虽然小了，但小车的前进方向基本已经维持了。从上图中我们可以很形象的观测到Sa(t)的变化[红色箭头 与 黑色箭头 的夹角=Sa(t)]
实际上，对于希望设计一个更智能化控制器的笔者来讲，我更希望他达到如下图所示的结果：
是不是很干脆利落？
要想达到以上目标要怎么办呢？我们是否可以对控制器进行一点修改来解决以上问题
好了，请跟着笔者一起设计一个这样的控制器吧！
2.PD Control
在之前，我们已经确认了输入Ep，输出Sa；并且为了控制更加智能，我们希望Sa是受Ep控制的，即Sa = f (Ep)，而直接让Sa = P * Ep 会导致小车在前期追踪目标路径时，由于控制Sa太大而导致超调
实际上，Sa每次控制过大，就会导致Ep减小的速度过快，就是Ep的变化率太快！
Ep的变化率：小车沿着目标路径的垂直速度，设为Ed
我们可以如此设计，在P Control的基础上，如果小车距离目标路径的距离变化太快时（Ed过大），就让Sa小一点，甚至反向
因为
即Ed就是Ep的微分，为使得Ed可以影响Sa，可以在P Control的基础上加入一个微分项（请注意符号），如下：
此外，在上述控制器中，笔者加入了一个微分增益D，以方便调节微分项的占比。这样当Ed(t)越大时，Sa(t)就会越小。而且如果Ed(t)足够大，Sa(t)就会 与 仅仅使用P Control时 反向。而以上公式就是PD control，控制逻辑如下图所示：
下图中为我们展示了引入垂直速度Ed（微分项）后Sa的变化（深红线和黑线的夹角就是Sa，黑线是小车前进的方向）：
可以看到，由于引入了垂直速度（微分项）的缘故，使得只有P Control得出的Sa变得比原来变小了一些；可以说这里微分项是为了防止小车控制过快（抑制控制过快！）的点睛之笔
注：有时候微分项也用来加速控制，读者可以自行考虑
下面，对于PD Control，保持P不变，我们试着对微分项的占比 D 进行调节，来看看最终的控制结果：
可以发现，如果D太小了，微分项没什么作用，控制结果和P control差不多，我们称其为欠阻尼
如果D过大的化，抑制太厉害，小车需要很久才能到达目标路径，我们称其为过阻尼
只有一个好的D，让小车比较快的进入了目标路径，还不用怎么调整，实则妙哉，我们称其为临界阻尼，即刚刚好的阻尼力
相比P Control来说，PD Control可以说是既聪明又干净利落。然而，人非圣贤,孰能无过?即便就是如此聪明能干的PD Control也有他的缺点
3. PID Control
实际控制中，路面情况不可能是一成不变的，小车很可能受到外界的干扰；
比如，下图中，小车本来好好的行驶在目标路径中，这时候突然有块破石头迫使小车偏离了原来的路径：
可以看到，明明小车在偏离路径后，经过PD Control是输出了一个向南转弯的Sa（基本全靠P控制输出，D控制此时没啥用，因为没啥垂直速度）。但是为什么小车就是死活不动，总与目标路径有那么一点偏移距离（Lane offect）呢？
这是因为，小车的轮子和目标路径存在着一定的摩擦力。因此即便PD Control输出了一个Sa，但是可能由于摩擦力（主要是静摩擦力）的原因，导致真实转角根本达不到Sa，甚至真实的转角是0°
注：一般Sa的控制都是由舵机控制，舵机受电压控制，其实电气控制系统中真正的控制量都是电压电流。理想状态下，一般一定电压V就会对应一定的舵机转角Sa，Sa与V成正比，比较好的情况下该关系都会被满足（比如轮子只受到滑动摩擦力时）。但是这里的期望控制输出明明是Sa而系统达不到Sa的原因是此时处于特殊情况（静摩擦）
我们把这个偏移距离（Lane offect）叫做稳态误差
从PD Control公式
我们也可以发现，每次控制的Ep(t)（稳态误差）都一致，且很小，导致每次控制的Sa(t)也一致，且超级小，这可怎么办呢？（此外，Ep(t)不变，导致微分项一直为0）
也许聪明的读者已经想到了，那我能不能再加入一个项，这个项能随着时间进行累加。这样即使Ep不变，但随着时间累加，控制得到的Sa不就变大了。小车也就可以克服摩擦力，而顺利进行转弯了吗！
说干就干，那我们就加一个随着时间累加的量。就让Ep随着时间累加。而随着时间t累加不就是Ep(t)积分吗，因此我们推出公式：
这样我们在PD Control的基础上加入了一个积分项，且引入了积分增益 I 以用来调节积分项的占比。而这，就是大名鼎鼎的 PID Control了！逻辑图如下：
当P，D参数不变时，只调整 I ，结果如下：
最终的Sa控制是由P，I，D共同作用的。对于稳态误差的消除来说，I 如果过小，效果不明显；I 过大会造成小车在进入目标路径后震荡；
只有刚刚好的 I 会使得小车在产生稳态误差后快速到达目标路径
OK，以上就是PID控制器啦！OVER！
———————————————总结——————————————–
闭环控制的总体思想是以误差（实际值与目标之差）作为输入，进行一定的调节，如PID调节来对输出量进行控制。而输出量则会作用到受控系统实实在在的影响到实际值，从而影响误差，如此往复的一个循环。
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